Il
15 aprile 2007 potremo festeggiare il
terzo centenario della nascita di
Leonhard Euler, noto come Eulero e, senza dubbio, come ha affermato anche lo storico della matematica
Morris Kline [1], il più grande matematico del Settecento e uno dei quattro più grandi matematici della storia insieme ad Archimede, Newton e Gauss.
Nato in Svizzera, a Basilea, ma vissuto per tutto il corso della sua
carriera a Berlino e a San Pietroburgo, Eulero trasferì la sua importante influenza in ogni campo della matematica, della fisica e dell’ingegneria.
E’ noto per essere tra i più prolifici di tutti i tempi avendo dato contributi cruciali in numerose aree scientifiche: dalla analisi infinitesimale, alle funzioni speciali, dalla meccanica razionale alla meccanica celeste e alla teoria dei numeri, dalla teoria dei grafi, alla teoria delle stringhe.
L’aspetto più sorprendente è che, nel periodo di maggiore contributo alla ricerca scientifica, egli riusciva a malapena a scrivere o a leggere anche solo una riga, dato che aveva perso l’occhio destro a trent’anni ed era in seguito diventato praticamente cieco a causa di un intervento mal eseguito di cataratta.
Le migliaia di pagine delle sue dimostrazioni e dei suoi teoremi furono praticamente dettati a voce, affidati all’uso della sua prodigiosa memoria.
E nondimeno fu uno dei matematici più prolifici, dato che la sua opera omnia comprende 74 volumi in-quarto, dedicati non solo alla matematica, ma anche alla meccanica, all'astronomia e ancora all'ottica, all'acustica, alla termologia, all'elettricità e al magnetismo.
Del resto il suo grande genio Eulero lo dimostrò fin da piccolo, da quando entrò nella Università di Basilea tredicenne e si laureò in filosofia. A quel tempo riceveva anche lezioni di matematica nientemento che da Johann Bernoulli, che aveva scoperto il suo enorme talento e convinse il padre di Eulero a fargli intraprendere lo studio della matematica. Nel 1726 Eulero completò il suo dottorato sulla propagazione del suono e nel 1727, partecipò al Grand Prix dell'Accademia francese delle scienze (premio che vinse ben dodici volte nella sua vita).
CON EULERO NASCONO I MODELLI CHE STUDIANO L’EVOLVERE DI INTERNETA Eulero dobbiamo uno delle più importanti contributi alla matematica, la “topologia” e uno dei suoi più importanti approcci scientifici, la teoria dei grafi, che trova numerosi applicazioni oggi, sia nelle reti di comunicazione che nello studio dell’evolvere di Internet, come in applicazioni della fisica e dell’ingegneria o nella costruzione di circuiti elettronici, ma anche in altre discipline come la sociologia e la biologia.
Come spesso accade nella storia delle scoperte scientifiche, il vasto
argomento chiamato topologia trae origine da un indovinello apparentemente innoquo: il problema dei
ponti di Königsberg.
La città di Königsberg è celebre per aver dato i natali a Kant e per i suoi sette ponti
che collegavano i vari quartieri della città, attraversata dal fiume Pregel.
Erano in molti a chiedersi se fosse possibile attraversare tutti e sette i ponti ritornando alla fine al punto di partenza, dopo essere passati una volta sola su ognuno di essi.
Il problema, al tempo di Kant, aveva attirato l'attenzione dei più celebri matematici, i quali avevano tentato invano di trovare una soluzione.
Eulero risolse il problema nel 1735. Si rese conto
[2] [3] che la posizione esatta delle isole e dei ponti è irrilevante: quel che importa è il modo in cui i ponti sono messi uno rispetto all’altro, cioè la “rete” formata dai ponti.
Se osserviamo la
figura 2 in cui i ponti vengono sostituiti da “lati” e le rive
del fiume da “vertici” capiremo che Eulero costruì quello che si chiama un grafo, con nodi, i punti, e archi, le linee, e allargò la sua indagine ai problemi di percorso, in generale.
Egli stabilì che un grafo composto soltanto da nodi pari, collegato cioè a un numero pari di
archi, è sempre percorribile e si può ritornare al punto di partenza senza sovrapposizioni di
percorso.
Se un grafo contiene nodi pari e soltanto due nodi dispari è ancora percorribile, ma non si può più ritornare al punto di partenza. Se contiene invece più di due nodi dispari, non è più percorribile, senza sovrapposizioni di percorso.
La passeggiata sui ponti di Königsberg è di quest'ultimo tipo, e porta a un grafo composto da quattro nodi dispari, quindi non ha soluzione.
Quello che sembrava un piccolo rompicapo senza importanza, nelle mani di Eulero diventò un grande problema matematico, punto di partenza della teoria dei grafi e di una nuova scienza: la topologia, che investe oggi notevole importanza nello studio delle reti come internet.
Lo studio dei grafi portò a risultati sorprendenti. Uno di questi è la cosiddetta formula di Eulero, scoperta dal matematico nel 1751. Se in un grafo piano contiamo il numero di vertici e lo chiamiamo V, il numero di lati e lo chiamiamo E, e il numero di facce e le chiamiamo F, è sempre vera la seguente relazione
V-E+F =1
Un risultato notevole, se pensiamo che questo è indipendente da quanto sia semplice o complicato un grafo e da quanti lati o vertici abbia.
La
teoria dei grafi è diventata uno strumento di importanza cruciale nella nostra epoca a partire dal 1950, in risposta a un crescente interesse dapprima in studi quantitativi in sociologia e antropologia (le cosiddette social network). E’ a partire da questi anni che matematici come
Paul Erdős e
Alfréd Renyi iniziarono a studiare i primi modelli matematici che spiegassero la proparazione delle informazioni in una
rete interconnessa.Oggi si è scoperto che questi modelli spiegano anche la complessità di reti sociali e la propagazione di epidemie (scienze biologiche), di virus informatici e circuiti elettronici ( Computer Sciences), o di fenomeni sociali come le mode o i comportamenti delle masse e nondimento allo studio dellà complessità di Internet e dei fenomeni emergenti del World Wide Web.
LA FORMULA DI EULERO E LA FIRMA DIGITALEL’importanza degli studi di Eulero, che ebbero grande influenza scientifica nel nostro millennio, non si ferma qui.
Grazie ad Eulero, e in particolare a un algoritmo che utilizza la formula del matematico, si sono potuto realizzare metodi per la crittografia a chiave pubblica come il metodo
RSA, che viene oggi utilizzato per l'autenticazione dei dati, il non ripudio e il controllo di integrità, tramite il meccanismo della firma digitale.
L'algoritmo RSA, che prende il nome dai suoi inventori, Rivest, Shamir e Adleman, che lo realizzarono nel 1977, è basato su alcune proprietà dell'aritmetica modulare degli interi scoperte proprio da Eulero.
BELLEZZA MATEMATICANon possiamo chiudere l’articolo senza ricordare una delle più belle formule mai scoperte dalla mente di un matematico.
Nel 1748 Eulero scoprì l’incredibile identità
eiπ = cos x + i sin x
che vale per ogni numero reale x. Se sostituiamo il valore pigreco per x, allora, visto che cos π = -1 e sin π = 0, si ha la famosa formula di Eulero
eiπ+1=0
ritenuta da
Richard Feynman "la più bella formula di tutta la matematica", e che collega armoniosamente cinque numeri estremamente importanti: due interi (0 e 1), due numeri reali (pigreco e il rapporto la base dei logaritmi naturali) e un complesso (i, cioè la radice quadrata di -1).
Usando le tre operazioni più importanti della matematica (somma, prodotto ed elevamento a potenza) si ottiene dunque questa sorprendente relazione fra numeri, che mostra un’intrinseca connessione esistente fra enti scoperti individualmente a distanza di migliaia di anni l’uno dall’altro, condensata in una formula che possiede la profonda armonia di un’opera d’arte.
Una delle conseguenze più inaspettate di questa equazione è che elevando un numero irrazionale a una potenza che è un immaginario irrazionale si può ottenere un numero naturale.
Tra l’altro ricordiamo che oggi, oltre ai tre simboli
e, π e
i, e che sono dovuti in larga misura a Eulero, noi utilizziamo molti altri simboli introdotti dal matematico per designare certi numeri particalarmente importanti.
Dalla geometria, all’algebra dalla trigonometria all’analisi troviamo dappertutto l’uso di simboli euleriani, oltre alla terminologia e ai concetti caratteristici di Eulero.
Solo per fare alcuni esempi, in geometria tutti noi utilizziamo il suo metodo quando scegliamo le lettere minuscole a, b, c per indicare i lati di un triangolo e le corrispondenti lettere maiuscole A,B,C, per indicare gli angoli opposti. O l’espressione
lgx per indicare il logaritmo di x. Oppure il simbolo
Σ , oggi un uso comune per indicare una sommatoria, o infine, forse il più importante di tutti, la notazione f(x) per indicare una funzione di x.
Se l’attuale notazione matematica è quello che è, lo dobbiamo a Eulero più che a ogni altro matematico.
E oltre alla bellezza matematica, la scoperta di una profonda connessione tra l’analisi complessa e i numeri naturali permesero agli studiosi di teoria dei numeri di identificare e descrivere strutture numeriche che, molto proabilmente, sarebbero rimaste per molto tempo nell’ombra impedendo così applicazioni significative, per esempio, nelle telecomunicazioni, che hanno permesso la realizzazione di cellulari, GPS e computer e Internet, e dunque degli strumenti che permettono a voi di leggere questo articolo.
L'AUTORE
Claudio Pasqua è docente di Computer Science e Comunicazione con i nuovi media dal 1994. La teoria della complessità (l'insieme interdisciplinare delle teorie che si occupano dello studio di sistemi complessi) e gli scenari del mondo digitale e delle sue applicazioni nel mondo reale sono alcune delle sue attività di interesse. Pubblica regolarmente articoli sull'argomento ICT su riviste nazionali e su Internet dal 1995
REFERENCES[1] Morris Kline, Mathematical thought from ancient to modern times, New York (1972), trad. it. “Storia del pensiero matematico - volume I dall'antichità al settecento”, (1996) Giulio Einaudi editore s.p.a., Torino
[2] Euler L. (1741) Solutio Problematis ad geometriam situs pertinentis, Comment. Acad. Sc. Petrog., t. 8 (1736), pp. 128-140.
[3] Euler L. (1923) Solutio Problematis ad geometriam situs pertinentis (ristampa di [E]), Commentationes Algebraicae, Teubner, Lipsia, Berlin (edidit L. G. Du Pasquier).
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